AYT matematik, kayıt görüşmelerinde en çok "biliyorum ama yapamıyorum" cümlesini duyduğumuz derstir. Cümle samimidir ve çoğu zaman doğrudur: öğrenci türevin tanımını bilir, integralin alan olduğunu bilir, logaritma kurallarını sayabilir. Yine de soru karşısına çıktığında elini kaldıramaz. Bu tabloya "konu eksiği" demek, hastalığı yanlış adlandırmaktır — ve yanlış adlandırılan hastalık yanlış tedavi edilir: öğrenci konu videosunu bir kez daha izler, aynı konu testini bir kez daha çözer, netin yerinde saydığını görür.
Bu yazı, "AYT matematiğe nasıl çalışılır" sorusuna konu listesi vererek değil, bir AYT sorusunun içinde ne olduğuna bakarak cevap verir. Çünkü çalışmanın niteliğini konu değil, sorunun yapısı belirler; ve AYT sorusunun yapısı TYT'ninkinden farklıdır. Net artırma atlasımızda seviyeleri yanlışın türüyle tanımlamıştık; burada aynı bakışı tek bir dersin içine, sorunun anatomisine indiriyoruz.
AYT sorusunun anatomisi: beş halkalı zincir
Matematik eğitimi araştırmasının en yerleşik bulgularından biri, problem çözmenin tek bir yetenek değil evreler dizisi olduğudur. Pólya (1945) bunu dört adımda tarif etmişti — anlama, plan, uygulama, geriye bakma; Schoenfeld (1985) ise uzman ve acemi çözücüleri gözlemleyerek asıl farkın işlem bilgisinde değil, hangi bilginin ne zaman devreye alınacağına karar veren kontrol katmanında olduğunu gösterdi. Bu ikisini AYT sorusunun diline çevirdiğimizde beş halka ortaya çıkar:
- Okuma: soru kökündeki koşulları, verilenleri ve istenenleri eksiksiz almak. AYT'de kök uzundur; tek bir "en az", "tam sayı", "pozitif" kelimesinin atlanması soruyu götürür.
- Tanıma: sorunun hangi kavramları birlikte istediğini görmek. "Bu bir türev sorusu" demek yetmez; "türevin işaretiyle monotonluğu, oradan da denklemin kök sayısını soruyor" demek gerekir.
- Temsil: doğru gösterimi seçmek — grafik çizmek mi, denklem kurmak mı, tablo mu, birim çember mi. Yanlış temsil çözümü uzatır ya da imkânsızlaştırır.
- İşlem: cebirsel akıcılık. Çarpanlara ayırma, üslü-köklü ifadeler, trigonometrik özdeşlikler; hepsi otomatikleşmiş olmalı ki dikkat üst halkalara kalsın.
- Kontrol: sonucu koşullarla karşılaştırmak, birim ve büyüklük hissi, tersten deneme. Pólya'nın "geriye bakma"sı; sınavda en çok atlanan halka.
Zincir metaforu süs değildir: sorunun puanı yalnız bütün halkalar tuttuğunda gelir. Dört halkası mükemmel, biri kopuk öğrenci ile hiçbir halkası olmayan öğrenci optik formda aynı görünür — ikisi de sıfır alır. Deneme netine bakarak ikisini ayırmak imkânsızdır; ayırmak için soruya nerede durduğunu sormak gerekir.
Kopuşun izi: denemede hangi halka nasıl görünür?
Deneme analizini "netin ötesine" taşıyan yazımızda yanlışların dört türünü tanımlamıştık; AYT matematikte bu türler zincirin halkalarına oturur. Halka halka iz şöyledir:
Okuma kopuşu — çözüm doğru, cevap yanlış. Öğrenci soruyu çözmüş, ama sorulan şeyi değil kendi anladığı şeyi bulmuştur. İz: "yanlışları geri çözünce çoğunu yapabiliyorum" cümlesi. Bu, öğrencinin en umutlu ve en yanlış anlaşılan profilidir; ona konu çalıştırmak israftır.
Tanıma kopuşu — soru boş bırakılmış ya da yanlış yola girilmiş; çözümü görünce "aa, bu buymuş" tepkisi. En yaygın AYT profili budur ve bilgi eksiğiyle en çok karıştırılan profildir. Öğrenci konuyu izole öğrenmiştir; karışık kılıkta tanıyamaz.
Temsil kopuşu — çözüme başlanmış, uzayıp gitmiş, süre bitmiş. Cebirsel yolla çözülmeye çalışılan bir grafik sorusu, çizilmeden yorumlanmaya çalışılan bir trigonometri sorusu. İz: uzun çözümler, sayfa dolusu işlem, sonuç yok.
İşlem kopuşu — yol doğru, sonuç yanlış: işaret hatası, çarpanlara ayırma hatası, sadeleştirme hatası. İz: aynı türden küçük hataların tekrarı; süre baskısı altında artması. Bu bir "dikkatsizlik" değil, otomatikleşmemiş becerinin bilişsel yük altında çökmesidir — Sweller'ın (1988) bilişsel yük kuramının tarif ettiği tam da budur.
Kontrol kopuşu — cevap şıkta yok, yine de bir şık işaretlenmiş; ya da negatif uzunluk, 1'den büyük olasılık gibi imkânsız sonuçlar fark edilmemiş. İz: "cevabı şıklarda bulamayınca en yakınını işaretledim." Bu halka çalışılmaz sanılır; oysa en kısa sürede kazanılan halkadır.
Bu teşhisi öğrencinin kendi başına yapması zordur, çünkü Flavell'in (1979) üstbiliş kavramıyla söylersek, kişinin kendi bilme durumunu izlemesi öğrenilen bir beceridir ve sınav baskısı altında ilk zayıflayan şeydir. Bu yüzden teşhisin dışarıdan — analiz eden bir sistemden ve okuyan bir öğretmenden — gelmesi gerekir; bunu son bölümde açacağız.
Üç blok ve önkoşul zinciri: hangi sıra?
AYT matematik konuları birbirine gevşek bağlı bir liste değil, sıkı bir önkoşul ağıdır. Bu ağı üç bloğa ayırarak okumak, "nereden başlamalı" sorusuna netlik getirir:
Blok 1 — Fonksiyon omurgası: fonksiyon kavramı, polinomlar, ikinci dereceden denklem ve eşitsizlikler, parabol. Bu blok AYT'nin dilidir; limit, türev ve integral bu dilde konuşur. Omurga oturmadan analize geçen öğrenci, her türev sorusunda iki iş birden yapmak zorunda kalır: hem türevi düşünmek hem fonksiyonu anlamak. Bilişsel yük taşar (Sweller, 1988).
Blok 2 — Analiz: limit ve süreklilik, türev ve uygulamaları, integral. AYT'nin en çok soru getiren ve en çok "biliyorum ama" cümlesi üreten bloğu. Burada tanıma ve temsil halkaları belirleyicidir: türevin işareti–monotonluk–ekstremum–grafik zinciri tek soruda istenir; integralde alan ile belirli integral arasındaki geçiş çizimsiz kurulamaz.
Blok 3 — Yapılar: trigonometri, logaritma ve üstel fonksiyon, diziler, permütasyon-kombinasyon-olasılık, karmaşık sayılar. Birbirinden görece bağımsız; her biri kendi temsil diline sahip (birim çember, üstel-logaritmik eşleme, sayma ilkeleri). Bu blokta bilgi eksiği payı daha yüksektir; ancak trigonometri, temsil kopuşunun en sık yaşandığı konudur.
Sıra önerimiz açıktır: omurga → analiz → yapılar, ama yapılar bloğu analize paralel yürütülebilir çünkü bağımlılığı zayıftır. Kalan süreye göre planı anlatan yazımızda bu sıranın 9-6-3 aylık takvimlere nasıl oturduğunu ayrıca vermiştik; burada ilke tek cümle: önkoşulu oturmamış konuya girmek, konuyu değil özgüveni çalışmaktır.
Halka halka doğru çalışma: çözümlü örnekten karışık pratiğe
Teşhis hangi halkayı gösteriyorsa çalışma o halkaya özeldir; ama bir de öğrenmenin evresine göre değişen genel bir sıra vardır ve öğrenciler bunu tersinden yapar.
1) Yeni konu: çözümlü örnek okuma. Öğrenme biliminin en tutarlı ve en az uygulanan bulgusu şudur: konuyu yeni öğrenen öğrenci için çözülmüş örnek incelemek, aynı soruyu kendi çözmeye çalışmaktan daha verimlidir. Sweller ve Cooper (1985), cebir öğrenen öğrencilerde çözümlü örnekle çalışan grubun daha kısa sürede daha iyi transfer yaptığını göstermiştir; mekanizma bilişsel yüktür — acemi çözücü sorunun kurgusunu ve işlemi aynı anda taşıyamaz, çözümlü örnek yükün yarısını taşır. Kural: örneği okumak değil, her adımında "neden bu adım" diye kendine açıklamak (Chi vd., 1989); sonra bir-iki adımı silinmiş "solan örnek"lerle boşlukları kendi doldurmak; ancak ondan sonra sıfırdan çözmek.
2) Konu oturunca: tek tip pratik — kısa. Konu testi gereklidir ama abartılır. Aynı tipten yirmi soru, onuncudan sonra öğrenme değil ısınma üretir. Amaç işlem halkasını otomatikleştirmektir; ölçüt "artık düşünmeden yapıyorum" hissidir, soru sayısı değil.
3) Asıl kazanç: karışık pratik. AYT'nin tanıma halkasını yalnız karışık soru çalıştırır, çünkü konu testinde tanıma yoktur — testin başlığı zaten söyler. Rohrer ve Taylor (2007), matematik problemlerini konuya göre bloklamak yerine karıştırarak çalışan öğrencilerin, çalışma sırasında daha çok hata yapmalarına rağmen sınavda belirgin biçimde daha başarılı olduğunu göstermiştir. Bu bulgu öğrenciye zor gelir: karışık set daha çok hata, daha az tatmin verir. Bjork ve Bjork'un (2011) "arzu edilen zorluk" kavramı tam bunu tarif eder — kısa vadede performansı düşüren şey uzun vadede öğrenmeyi büyütür. Pratikte: haftalık AYT matematik çalışmasının en az yarısı, konusu belli olmayan karışık setlerden ve süreli branş denemesinden oluşmalıdır.
4) Her aşamada: yazılı gerekçe. Yanlış çıkan sorunun doğrusunu görmek öğrenme değildir; neden o yola girildiğini yazmak öğrenmedir. Hattie ve Timperley (2007), geri bildirimin ancak "nerede olduğum – nereye gidiyorum – bir sonraki adım ne" üçlüsünü kapattığında işe yaradığını gösterir. Öğrencinin kendine verdiği en iyi geri bildirim, yanlışının hangi halkada olduğunu tek cümleyle yazmasıdır: "kökü yanlış okudum", "türev-monotonluk bağını görmedim", "grafik çizmeliydim", "işaret hatası", "kontrol etmedim." Bu beş etiketten oluşan basit bir defter, üç haftada öğrencinin kendi kopuş haritasını çıkarır.
Maarif Modeli'nin beceri dili AYT matematiğe ne söylüyor?
2024 programı matematik çıktısını beş alan becerisiyle tanımlar: matematiksel muhakeme (MAB1), problem çözme (MAB2), matematiksel temsil (MAB3), veriyle çalışma ve veriye dayalı karar verme (MAB4), matematiksel araç ve teknolojiyle çalışma (MAB5) (MEB, 2024). Yeni nesil matematik yazımızda bu kodların ne anlama geldiğini ve kavram yanılgılarına nasıl bağlandığını ayrıntılı ele almıştık; burada yalnız AYT'ye düşen payı yazalım.
Beceri dilinin en somut sonucu şudur: sınav bu dile yaklaştıkça sorunun ağırlığı işlem halkasından tanıma ve temsil halkalarına kayar. "Şu integrali hesapla" yerine "şu grafiğin altındaki alanın hangi aralıkta hangi işaretle toplandığını gerekçelendir" tipinde sorular; tek temsil yerine temsil değiştirme (tablodan denkleme, denklemden grafiğe — MAB3). Bunun çalışmaya çevirisi tek cümledir: temsil değiştirme başlı başına bir çalışma türü olarak programa girmelidir. Bir fonksiyonu üç biçimde yazmak — denklem, tablo, çizim — ve aralarında geçmek; sadece "çözmek" değil.
İkinci sonuç, veriyle çalışma (MAB4) başlığının AYT'de artık istatistik ünitesiyle sınırlı olmamasıdır: gerçek bağlamlı problem — nüfus artışı, faiz, bozunma — logaritma ve üstel fonksiyon sorularının doğal kılığı hâline gelmiştir. Bu bağlamı okumak, zincirin ilk halkasını (okuma) daha da ağırlaştırır; uzun köklü soruda ilk cümleden son cümleye koşulları işaretleyerek okuma alışkanlığı, süreye yenilen öğrenci için ilaç niteliğindedir.
Sık yapılan üç yanlış eşleşme
1) Tanıma kopuşuna konu tekrarı. "Türevde takılıyorum, türevi baştan çalışayım" — en yaygın israf. Öğrenci türevi biliyordur; bilmediği sorunun kılığıdır. Buraya konu değil, karışık set ve süreli branş denemesi gerekir.
2) İşlem kopuşuna zor soru. İşaret ve sadeleştirme hatası yapan öğrenciye "seviye atla, zor sorulara geç" demek, çatlak temele kat çıkmaktır. Buraya on dakikalık günlük cebir akıcılığı egzersizi gerekir — sıkıcı, kısa ve etkili.
3) Okuma-kontrol kopuşuna daha çok soru. Yanlışlarını geri çözebilen öğrenciye "daha çok çöz" demek, sorunu büyütür: yorgunluk okuma hatasını artırır. Buraya daha az ve daha yavaş — her sorunun kökünü işaretleyerek okuma ve son on saniyeyi kontrole ayırma provası — gerekir.
Bu teşhis bizim modelimizde nasıl karara döner?
Yukarıdaki çerçeve kâğıt üzerinde her öğrencinin uygulayabileceği bir şeydir; ancak sahada işlemesi tek soruya bağlıdır: zincirin koptuğu halkayı kim, hangi sıklıkla, hangi veriyle okuyacak? Fermat eğitim modelini anlatan yazımızda ilkeyi koymuştuk — temas insandan, görüş alanı sistemden — ve AYT matematik bu ilkenin en çok işe yaradığı derstir, çünkü kopuş halkası çıplak gözle görünmez.
Ölçüm. Her cuma, Türkiye geneli on binlerce kişilik havuzda değerlendirilen deneme; sonuç net değil, ders-konu kırılımında yanlış türüdür. Öğrenci "matematik 12" değil, "türev-monotonluk sorularında üç kararlı yanlış (tanıma), integralde iki uzun-boş (temsil), trigonometride işlem" tablosu görür. Deneme Kulübü'nün neden bir kültür meselesi olduğunu ayrıca yazmıştık.
Sinyal. Kuruma gömülü pedagojik ajanımız FermatAI, deneme geçmişini konu takibiyle ve öğrencinin ders dışında sorduğu sorularla yan yana okur: iki denemedir aynı halkada takılan öğrenci için bir izlenim değil bir örüntü vardır ve bu örüntü sabah rehber öğretmenin masasına gelir.
Karar ve müdahale. Pazartesi koçluk görüşmesinde karar verilir — algoritma değil insan verir: bu hafta hangi bloğa, hangi halkaya, hangi dozla. Tanıma ve temsil kopuşlarında çoğunlukla branş birebiri kurulur, çünkü VanLehn'in (2011) gösterdiği gibi çok adımlı çözümde öğrencinin nerede koptuğunu ancak yanında oturan öğretmen görür; sınıf anlatımı zincirin ortasını göremez. İşlem kopuşunda birebir gerekmez, günlük akıcılık dozu yeter; kontrol kopuşunda ise deneme provası.
Yeniden ölçüm. Sonraki cuma döngü kapanır. Aynı halka aynı blokta sürüyorsa müdahale değişir; düzeldiyse sıradaki halkaya geçilir. Bu ritim, matematik kaygısının performansı düşürücü etkisine (Ramirez vd., 2011'in ölçtüğü türden) karşı en iyi panzehirdir: öğrenci "matematiği yapamıyorum" yerine "bu hafta temsil halkasını çalıştım ve düzeldi" cümlesini kurar; ilerleme görünür olur.
Sonuç: konuyu değil, halkayı çalış
AYT matematik, bilgi yarışması değildir; zincir dayanıklılığı yarışmasıdır. Aynı saat, kopuk halkaya konduğunda birkaç saat değerinde çalışır; sağlam halkaya konduğunda israftır. Bu yazı "biliyorum ama yapamıyorum" cümlesini beş soruya çevirmenizi ister: soruyu doğru okudum mu, hangi kavramları istediğini gördüm mü, doğru temsili seçtim mi, işlemi hatasız yürüttüm mü, sonucu kontrol ettim mi? Cevap konudan konuya, hatta haftadan haftaya değişir — ve doğru cevap, haftanın planını yazar. Kurumumuzda bu soruyu her hafta öğrenci adına ölçen, sinyale çeviren ve öğretmenin kararına sunan bir düzen çalışır. Kendi denemenizle bu teşhisi birlikte yapmak isterseniz kurumumuza bekleriz.
Seçilmiş literatür
Bu yazıda başvurulan başlıca kaynaklar; iddiaların izlenebilir olması ve okuyucunun kendi doğrulamasını yapabilmesi için aşağıda listelenmiştir.
- Pólya, G. (1945). How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method. Princeton University Press.
- Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. Orlando: Academic Press.
- Sweller, J. (1988). Cognitive Load During Problem Solving: Effects on Learning. Cognitive Science, 12(2), 257–285.
- Sweller, J., & Cooper, G. A. (1985). The Use of Worked Examples as a Substitute for Problem Solving in Learning Algebra. Cognition and Instruction, 2(1), 59–89.
- Rohrer, D., & Taylor, K. (2007). The Shuffling of Mathematics Problems Improves Learning. Instructional Science, 35(6), 481–498.
- Bjork, R. A., & Bjork, E. L. (2011). Making Things Hard on Yourself, But in a Good Way: Creating Desirable Difficulties to Enhance Learning. In Psychology and the Real World. Worth Publishers.
- Chi, M. T. H., Bassok, M., Lewis, M. W., Reimann, P., & Glaser, R. (1989). Self-Explanations: How Students Study and Use Examples in Learning to Solve Problems. Cognitive Science, 13(2), 145–182.
- Flavell, J. H. (1979). Metacognition and Cognitive Monitoring: A New Area of Cognitive-Developmental Inquiry. American Psychologist, 34(10), 906–911.
- Hattie, J., & Timperley, H. (2007). The Power of Feedback. Review of Educational Research, 77(1), 81–112.
- VanLehn, K. (2011). The Relative Effectiveness of Human Tutoring, Intelligent Tutoring Systems, and Other Tutoring Systems. Educational Psychologist, 46(4), 197–221.
- Ramirez, G., & Beilock, S. L. (2011). Writing About Testing Worries Boosts Exam Performance in the Classroom. Science, 331(6014), 211–213.
- T.C. Millî Eğitim Bakanlığı (2024). Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli — Öğretim Programları. Ankara. (Alan becerileri MAB, kavramsal beceriler KB, eğilimler E ve sosyal-duygusal beceriler SDB kodlamaları bu programdan alınmıştır.)
Randevu: fermatvip.com/randevu — 0546 260 54 46
İlgili okumalar: Net artırma atlası: yanlışın türünü okumak · Yeni nesil matematik: beceri kodları ve yanılgılar · Deneme analizi: netin ötesindeki veri
Akademik künye — Kurumumuzun eğitimde yapay zekâ yaklaşımı dört kalıcı kayıtla açık erişimde belgelenmiştir. Kuram makalesi: DOI 10.5281/zenodo.21910882. Monografi: DOI 10.5281/zenodo.21894382. Tanım makalesi: DOI 10.5281/zenodo.21309306. Teknik rapor: DOI 10.5281/zenodo.21203519. Tüm künyeler: Akademik Temel · Araştırma & Yayınlar.